Exercício 9

Autor: Rodrigo Mologni Gonçalves dos Santos
Data: 21/05/2009

Enunciado

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Índice

  • 1. Realce no domínio da frequência

    • 1.1 Filtragem passa-baixas

    • 1.2 Filtragem passa-altas

    • 1.3 Filtragens passa-banda e rejeita-banda

      • 1.3.1 Filtro passa-banda
      • 1.3.2 Filtro rejeita-banda
  • 2. Decomposição de Transformadas de Fourier bidimensionais

  • 3. Referências

1. Realce no domínio da frequência

O realce no domínio da frequência é obtido computando a transformada de Fourier da imagem a ser realçada, multiplicando o resultado por uma função filtro de transferência, e tomando a transformada inversa para produzir a imagem realçada.

1.1 Filtragem passa-baixas

As bordas e outras transições abruptas (tal como ruído) nos níveis de cinza de uma imagem contribuem significamente para o conteúdo de alta frequência da sua respectiva transformada de Fourier. Assim, o borramento (suavização) é alcançado no domínio da frequência através da atenuação de um intervalo específico de componentes de alta frequência na transformada de uma imagem.

1.1.1 Filtro ideal

Um filtro passa-baixas ideal bidimensional é aquele cuja função de transferência satisfaz a relação

em que Dₒ é um valor não-negativo específico e D(u, v) é a distância do ponto (u, v) à origem do plano da frequência, isto é,

Exemplo: A Figura 1 ilustra cada uma das etapas envolvidas no processo de aplicação de um filtro passa-baixas ideal sobre uma imagem: (a) uma imagem de uma impressão digital; (b) o espectro de Fourier da imagem; (c) um filtro passa-baixas ideal; (d) a combinação do filtro com o espectro de Fourier; (e) a imagem resultante da aplicação do filtro; e (f) a diferença entre as imagens inicial e final.

1 H = iacircle(f.shape, 50, divide(f.shape, 2))
2 
3 filter(f, H)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Figura 1 - Filtro passa-baixas ideal aplicado sobre uma imagem de uma impressão digital.

1.1.2 Filtro de Butterworth

A função de transferência do filtro passa-baixas de Butterworth de ordem n e com posição da frequência de corte a uma distância Dₒ da origem é definida pela relação

Exemplo: A Figura 2 ilustra cada uma das etapas envolvidas no processo de aplicação de um filtro passa-baixas de Butterworth sobre uma imagem: (a) uma imagem de uma impressão digital; (b) o espectro de Fourier da imagem; (c) um filtro passa-baixas de Butterworth; (d) a combinação do filtro com o espectro de Fourier; (e) a imagem resultante da aplicação do filtro; e (f) a diferença entre as imagens inicial e final.

1 H = iabwlp(f.shape, 10, 1)
2 H = iadftview(H)
3 
4 filter(f, H)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Figura 2 - Filtro passa-baixas de Butterworth aplicado sobre uma imagem de uma impressão digital.

1.2 Filtragem passa-altas

Como as bordas e outras mudanças abruptas nos níveis de cinza estão associados com os componentes de alta frequência, a agudização da imagem pode ser alcançada no domínio da frequência através de um processo de filtragem passa-altas, que atenua os componentes de baixa frequência sem alterar as informações de alta frequência na transformada de Fourier.

1.2.1 Filtro ideal

Um filtro passa-altas ideal bidimensional é aquele cuja função de transferência satisfaz a relação

em que Dₒ é a distância de corte medida a partir da origem do plano da frequência. Esse filtro é o oposto do filtro passa-baixas ideal discutido na Seção 1.1.1, porque ele atenua completamente todas as frequências dentro de um círculo de raio Dₒ, enquanto deixa passar, sem atenuação, todas as frequências fora do círculo.

Exemplo: A Figura 3 ilustra cada uma das etapas envolvidas no processo de aplicação de um filtro passa-altas ideal sobre uma imagem: (a) uma imagem de uma impressão digital; (b) o espectro de Fourier da imagem; (c) um filtro passa-altas ideal; (d) a combinação do filtro com o espectro de Fourier; (e) a imagem resultante da aplicação do filtro; e (f) a diferença entre as imagens inicial e final.

1 H = iacircle(f.shape, 50, divide(f.shape, 2))
2 H = ianormalize(H, [1, 0])
3 
4 filter(f, H)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Figura 3 - Filtro passa-altas ideal aplicado sobre uma imagem de uma impressão digital.

1.2.2 Filtro de Butterworth

A função de transferência do filtro passa-altas de Butterworth de ordem n e com frequência de corte posicionada a uma distância Dₒ da origem é definida pela relação

Exemplo: A Figura 4 ilustra cada uma das etapas envolvidas no processo de aplicação de um filtro passa-altas de Butterworth sobre uma imagem: (a) uma imagem de uma impressão digital; (b) o espectro de Fourier da imagem; (c) um filtro passa-altas de Butterworth; (d) a combinação do filtro com o espectro de Fourier; (e) a imagem resultante da aplicação do filtro; e (f) a diferença entre as imagens inicial e final.

1 H = iabwlp(f.shape, 10, 1)
2 H = 1.0 / H
3 H = iadftview(H)
4 
5 filter(f, H)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Figura 4 - Filtro passa-altas de Butterworth aplicado sobre uma imagem de uma impressão digital.

1.3 Filtragens passa-banda e rejeita-banda

Filtros passa-banda e rejeita-banda são extensões dos conceitos de filtros passa-baixas e passa-altas, anteriormente discutidos.

1.3.1 Filtro passa-banda

Filtros passa-banda deixam passar frequências de uma banda específica ou região, enquanto atenuam ou suprimem completamente todas as outras frequências.

Um filtro passa-banda ideal radialmente simétrico, que remova uma banda de frequência em torno da origem, é dado pela relação

em que W é a largura da banda e Dₒ é o seu centro radial.

Exemplo: A Figura 5 ilustra cada uma das etapas envolvidas no processo de aplicação de um filtro passa-banda ideal radialmente simétrico sobre uma imagem: (a) uma imagem de uma impressão digital; (b) o espectro de Fourier da imagem; (c) um filtro passa-banda ideal radialmente simétrico; (d) a combinação do filtro com o espectro de Fourier; (e) a imagem resultante da aplicação do filtro; e (f) a diferença entre as imagens inicial e final.

1 X = iacircle(f.shape, 100, divide(f.shape, 2))
2 Y = iacircle(f.shape,  50, divide(f.shape, 2))
3 Y = ianormalize(Y, [1, 0])
4 H = X * Y
5 
6 filter(f, H)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Figura 5 - Filtro passa-banda ideal radialmente simétrico aplicado sobre uma imagem de uma impressão digital.

1.3.2 Filtro rejeita-banda

Os filtros rejeita-banda são exatamente o oposto dos filtros passa-banda.

Um filtro rejeita-banda ideal suprime todas as frequências em uma vizinhança de raio Dₒ em torno de um ponto (uₒ, vₒ) em vez da origem, sendo dada pela relação

em que

Exemplo: A Figura 6 ilustra cada uma das etapas envolvidas no processo de aplicação de um filtro rejeita-banda ideal sobre uma imagem: (a) uma imagem de uma impressão digital; (b) o espectro de Fourier da imagem; (c) um filtro rejeita-banda ideal; (d) a combinação do filtro com o espectro de Fourier; (e) a imagem resultante da aplicação do filtro; e (f) a diferença entre as imagens inicial e final.

1 X = iacircle(f.shape, 50, divide(f.shape, 2) - [50, 50])
2 Y = iacircle(f.shape, 50, divide(f.shape, 2) + [50, 50])
3 X = ianormalize(X, [1, 0])
4 Y = ianormalize(Y, [1, 0])
5 H = X * Y
6 
7 filter(f, H)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Figura 6 - Filtro rejeita-banda ideal aplicado sobre uma imagem de uma impressão digital.

2. Decomposição de Transformadas de Fourier bidimensionais

Uma transformada de Fourier bidimensional pode ser computada como um série de transformadas unidimensionais. Portanto, uma transforma de Fourier de uma imagem equivale a uma série de transformadas aplicadas sobre as linhas ou colunas da imagem.

Exemplo: A Figura 7 ilustra a Transformada de Fourier aplicada sobre uma imagem de uma onda cossenoidal: (a) uma imagem de uma onda cossenoidal; (b) a decomposição da onda sobre o eixo horizontal; (c) a decomposição da onda sobre o eixo vertical; (d) o espectro de Fourier da imagem; (e) a decomposição da função das intensidades do espectro de Fourier sobre o eixo horizontal; e (f) a decomposição da função das intensidades do espectro de Fourier sobre o eixo vetical.

(a) Imagem de uma onda cossenoidal.

(d) Espectro de Fourier.

Figura 7 - Transformada de Fourier aplicada sobre uma imagem cossenoidal.

3. Referências

GONZALEZ, Rafael C.; WOODS, Richard E. Processamento de Imagens Digitais. Edgar Blücher, 2000.